KEBENARAN MATEMATIS DALAM FILSAFAT FORMALISME

KEBENARAN MATEMATIS DALAM FILSAFAT FORMALISME

Kebenaran matematika adalah kebenaran menurut definisi atau persyaratan yang menentukan makna dari term-term kunci. Persyaratan ini memberikan ciri khas bahwa validitas kebenaran matematika tidak memerlukan bukti empiris. Kebenaran matematika semata-mata dapat ditunjukkan dengan menganalisis makna yang terkandung dalam term-term di dalamnya, yang di dalam logika disebut sebagai benar secara apriori yang mengindikasikan bahwa nilai kebenarannya bebas secara logis dari atau apriori secara logis pada sebarang bukti eksperimental. 

Ciri khas kepastian teoritis berakibat pada pernyataan analitis yang tidak membawa informasi faktual, tidak memiliki implikasi faktual, tidak memuat kandungan empiris, sesuatu yang berbeda dengan pernyataan sintetis, sehingga kebenaran pernyataan analitis dapat divalidasi tanpa referensi bukti empiris. Jadi validitas kebenaran matematika tidak terletak pada sifat self-evident-nya dan tidak pula pada dasar empirisnya, akan tetapi diturunkan dari persyaratan yang menentukan makna konsep-konsep matematika. Dengan demikian, proposisi matematika adalah benar menurut definisi, kebenaran a priopri, sekali benar maka untuk seterusnya dan selamanya benar.

Menurut kaum Formalis matematika berasal dari penggunaan pikiran manusia secara bebas, bukan melalui praktek matematisasi dalam kehidupan sehari-hari. Mereka memandang apakah matematika yang dihasilkannya berguna dan dapat diterapkan bukan urusannya. Bagi kaum Formalis, matematika adalah untuk matematika, matematika an sich. Matematika dikembangkan tanpa tujuan untuk dapat digunakan dalam praktek dan atau dapat memberi manfaat nyata. 

Jadi kebenaran suatu teorema itu adalah benar secara kondisional, sehingga kebenaran jenis ini berimplikasi pada tidak ada asersi tentang fakta empiris sehingga tidak pernah terjadi pertentangan dengan sebarang penemuan empiris. Konsekuensinya, berbeda dengan hipotesa dan teori pada sains empiris, hipotesa dalam matematika tidak akan pernah menderita nasib menjadi tidak cocock dengan bukti empiris yang baru ditemukan. Tentang hal ini, Einstein memberikan pandangannya (Suriasumantri, 2005), ”Sepanjang hukum-hukum matematika mengacu pada realita, hukum-hukum itu tidak pasti; dan sepanjang hukum-hukum itu pasti, mereka tidak mengacu pada realita.

FALIBILISME DALAM ALIRAN MATEMATIKA

FALIBILISME DALAM ALIRAN MATEMATIKA

Aliran Falibilisme menyatakan bahwa isi matematika murni pada akhirnya diturunkan dari dunia material. Menurutnya, matematika menangani hubungan kuantitaif dalam dunia nyata, sehingga asumsi kebenaran seperangkat aksioma baru akan nampak terbukti setelah melalui masa-masa panjang pengamatan dan pengalaman atas realitas, bukan berdasarkan pembuktian secara deduktifaksiomatik. Hal ini didukung oleh kemampuan operasi matematika diterapkan pada dunia nyata dan mendapatkan hasil yang bermakna, yang memperlihatkan adanya tarik menarik (afinitas) antara matematika dan dunia nyata, sehingga matematika memiliki kegunaan praktis. 

Menurut Lakatos (Ernest, 1991) banyak hasil kerja ahli matematika, ahli logika, dan filosof (seperti hasil kerja dari Russel, Fraenkel, Carnap, Weyl, von Neumann, Bernays, Church, Godel, Quine, Rosser, Curry, Mostowski, dan Kalmar) yang berpandangan bahwa tidak mungkin terdapat kepastian yang lengkap dalam matematika, bahkan mereka cenderung mendukung bahwa pengetahuan matematika mempunyai dan memerlukan landasan empiris, sebagai pintu masuk untuk menolak absolutisme.

Penolakan terhadap absolutisme tidaklah berarti bahwa matematika terbuang dari Taman Eden, tidak mempunyai realitas yang pasti dan kebenaran. Hilangnya kepastian tidak berarti hilangnya pengetahuan, sebab falibilisme menyatakan bahwa pandangan absolutisme hanyalah sebuah idealisasi berlebihan, lebih sebagai sebuah mitos belaka. Bagi aliran falibilisme matematika yang dikembangkan aliran absolutisme adalah dongeng indah yang tidak membumi.

INTUISIONISME DALAM ALIRAN MATEMATIKA

INTUISIONISME DALAM ALIRAN MATEMATIKA

Intuisionisme adalah aliran filsafat dalam tradisi Kant bahwa semua pengetahuan manusia diawali oleh intuisi, menghasilkan konsep-konsep, dan diakhiri dengan ide-ide. Setidaknya untuk semua tujuan praktis, segala sesuatu, termasuk matematika, hanya ada dalam pikiran. Aliran Intuisionisme mulai dikembangkan sekitar 1908 oleh matematikawan Belanda L.J.W. Brouwer (18821966), meskipun beberapa ide awal intuisionisme diketahui telah ada, seperti yang dirumuskan Kronecker (1890-an) dan Poincare antara 1902-1906. L.E.J. Brouwer menyatakan bahwa matematika adalah kreasi pikiran manusia. Bilangan ibarat karakter dalam cerita dongeng, hanyalah entitas mental, yang tidak akan pernah ada, kecuali dalam pikiran manusia yang memikirkannya. Jadi, intuisionisme menolak keberadaan obyek-obyek dalam matematika.

Aliran Intuisionisme tidak memandang kebenaran matematis sebagai struktur obyektif seperti pendapat aliran Formalisisme dan Logisisme. Menurut aliran ini, matematika tidak akan dapat seluruhnya dilambangkan, berpikir matematis tidak tergantung pada bahasa tertentu yang digunakan untuk mengungkapkannya. Pengetahuan dari proses matematis haruslah sedemikian sehingga proses itu dapat diperluas hingga tak terbatas. 

Tesis aliran Intusionisme adalah matematika harus dibangun semata-mata atas dasar metode konstruktif finit (dalam sejumlah langkah yang hingga) dengan dasar barisan bilangan asli yang diketahui secara intuitif. 

Menurut aliran ini, pada dasar yang paling dalam terletak intuisi primitif, bersekutu dan bekerja sama dengan akal duniawi manusia, yang memungkinkan manusia mengangankan suatu obyek tunggal, kemudian satu lagi, satu lagi dan seterusnya tak berakhir. Dengan cara ini diperoleh barisan tak berakhir, yang dikenal dengan barisan bilangan alam. Dengan menggunakan dasar intuitif bilangan asli ini, sebarang obyek matematika harus dibangun dengan cara konstruktif murni, dengan menggunakan operasi dan langkah-langkah yang banyaknya berhingga. 

Bagi kaum Intuisionis, suatu himpunan tak boleh dipikirkan sebagai koleksi yang telah siap jadi, akan tetapi harus dipandang sebagai hukum yang elemen-elemennya dapat atau harus dikonstruksi selangkah demi selangkah. Konsep himpunan seperti ini dapat membebaskan matematika dari kemungkinan terjadinya kontradiksi, seperti munculnya kontradiksi pada pernyataan ”himpunan semua himpunan”. Kaum Intuisionis juga menolak pendapat aliran formalisme bahwa hukum excluded midle dan hukum kontradiksi adalah ekuivalen.